如何判断向量组是否线性相关？
5 个回答
1、定义法
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的
楼上答案注重的是证明，已经很全面了，我就补充一下如何通过计算判断向量组线性相关的具体操作。
将列向量合并为矩阵，进行行变换化为阶梯矩阵。不全为零的行的个数称作矩阵的秩，如果是满秩的，即没有全为0的行，那么此向量组线性无关；否则，线性相关。
最后我献上我写的一个化阶梯矩阵的程序：
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示例：
#53 按列的方式输入矩阵
#54 定义矩阵阶数
#55 原矩阵
#57 阶梯化后的矩阵
运行结果：
在做初等行变换的时候会涉及有理数四则运算，我输出的结果是去分母后的矩阵，毕竟整数看上去比较舒服。程序写得很low，仅供大家娱乐。
1、定义法
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组 线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
用未知数与方程数思考
堆数（向量个数）为未知数个数，维数为方程个数。
堆数大于维数，即未知数多，方程少，解个数则很多，也就不必全代零
使齐次方程成立，也就相关了。
而堆等于维，未知数等于方程数，可能有唯一解，但也可能无解，因为条件较严格，原成立方程，稍微变系数就无解，需靠解方程组确定。
而堆小于维，需看秩与维的关系。
①向量秩=维数，无关
②向量秩＜维数，则相关，有一个维可用其它维表示。（有无效，重叠方程）（上课笔记分享，有误请提醒）